Investissement & Équilibre général

TD Introduction à la macroéconomie

Kilian Rouge
kilian.rouge@agroparistech.fr

CIRED

2025-03-18

Rappels de cours

Investissement

  • Investissement si \(NPV >0 \Leftrightarrow \sum_{t=1}^{+\infty}\dfrac{d_t}{(A+r)^t} > I\)
  • Investissement si \(Q=\frac{\text{Valeur de marché}}{\text{Valeur comptable}} > 1\)
Critère \(NPV > 0\) \(Q > 1\)
Portée Projet individuel Décision d’investissement agrégée
Calcul Basé sur les flux de trésorerie actualisés Basé sur la valorisation de marché des actifs
Perspective Micro (niveau entreprise) Macro (niveau marché)
Interprétation Investir si le projet a une rentabilité attendue positive Investir si le marché valorise fortement le capital par rapport à son coût

Équilibre général

Composante Problème Contraintes Conditions du premier ordre
Ménage \(\max\limits_{c_{t},l_{t},a_{t+1}} \sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}[u(c_{t})+v(l_{t})]\) \(a_{t+1}=(1+r_{t})a_{t}+w_{t}(1-l_{t})+\Pi_{t}^{F}+\Pi_{t}^{I}-c_{t}\)
\(a_{0}=K_{0}(1+r_{0}^{K}-\delta)\) donnée
Condition de non-jeu de Ponzi		 \(\frac{v'(l_t)}{u'(c_t)}=w_t\)
\(u'(c_t)=\beta(1+r_{t+1})u'(c_{t+1})\)
Entreprise \(\max\limits_{K,L} F(K,L)-w_{t}L-r_{t}^{K}K\) - \(F_K(K_t,L_t)=r_t^K\)
\(F_L(K_t,L_t)=w_t\)
Entreprise d’investissement \(\max\limits_{I} \frac{r_{t+1}^{K}+1-\delta}{1+r}[(1-\delta)K_{t}+I] - [(1-\delta)K_{t}+I]\) - \(r_{t+1}=r_{t+1}^K-\delta\)

Bouclage macro :

  • \(L_t+l_t=1\)
    (Contrainte de temps)
  • \(F(K_t,L_t)=c_t+I\)
    (Marché des biens)
  • \(K_{t+1}=K_t(1-\delta)+I\) (Accumulation du capital)

Exercice 1 - Le prix des obligations

Supposons que le taux d’intérêt soit de 4% et qu’il reste à 4% pour toujours. Le 1er janvier 2025, le gouvernement a émis une obligation à T ans, qui verse des coupons de 4 centimes chaque année le 1er janvier (à partir de 2026) puis verse 1 dollar (en plus du coupon de 4 centimes) le 1er janvier de l’année 2025 + T.

  1. Utilisez la formule de la VA pour calculer quel devrait être le prix du marché de l’obligation. Comment dépend-il de T ? Expliquez.
  2. Supposons qu’après l’émission de l’obligation, les conditions du marché changent et que les taux d’intérêt tombent à 3% et devraient rester à 3% pour toujours. Quel est le prix du marché de l’obligation maintenant ? Comment dépend-il de T ? Expliquez.

Exercice 2 - Valeur de marché

Specific Mills est une entreprise qui vient de démarrer ses activités. Son activité consiste à acheter du blé aux agriculteurs, à le moudre pour produire et vendre de la farine. Elle est très petite par rapport au marché du blé et au marché de la farine. Ses actifs se composent d’une seule usine dont la construction a coûté 10 millions d’euros. Elle a émis 1 million d’actions, qui se négocient actuellement en bourse au prix de 10 € par action.

  1. Quel est le Q de Tobin pour Specific Mills ?
  2. Le prix de l’action de Specific Mills monte soudainement à 15€ par action. Quel est le Q de Tobin maintenant ?

Exercice 4 - Le premier théorème du bien-être

Examinez les politiques suivantes. Dans chaque cas, expliquez si, à votre avis, la politique est justifiée et pourquoi.

  1. Fixer un prix maximum que les services publics d’électricité peuvent facturer.
  2. Vaccinations obligatoires.
  3. Normes de sécurité au travail.
  4. Contrôle des loyers.
  5. Limiter les heures de travail à 35 heures par semaine.

Exercice 5 - Politiques en faveur des travailleurs

Considérons l’économie suivante sur une période. La fonction de production est \(F(K,L)\). Le ménage représentatif possède tout le stock de capital \(K\), qui est donné de manière exogène. Les préférences du ménage sont \(u(c,l)\) où \(l = 1 − L\). Les marchés du travail et du capital sont parfaitement concurrentiels.

On note \(L^*\) la quantité de travail que les ménages fournissent dans un équilibre concurrentiel sans intervention gouvernementale. Supposons maintenant que le gouvernement applique une nouvelle loi interdisant au ménage de travailler plus que \(L^* − ε\), où \(ε\) est un petit nombre positif.

  1. Montrez que la politique augmentera les salaires et diminuera le taux de location du capital.
  2. Montrez que la politique aggravera la situation du ménage représentatif.
  3. Supposons maintenant qu’il y ait deux ménages représentatifs dans l’économie. Le ménage A possède le stock de capital et ne travaille pas. Ses préférences sont données par \(u(c)\). Le ménage B a des préférences \(u(c, l)\) et ne possède aucun capital. Supposons que le gouvernement applique la même politique (i.e., interdiction de travailler plus que \(L^* − \epsilon\), où \(L^*\) est la quantité de travail d’équilibre sans intervention). Montrez que cette politique aggrave la situation du ménage A et améliore la situation du ménage B.

Exercice 3 - Un tremblement de terre

Supposons qu’un tremblement de terre détruise une grande partie du stock de capital à l’instant t. Supposons que les taux d’intérêt et l’offre future de travail ne soient pas affectées par le tremblement de terre et qu’il n’y ait pas de coûts d’ajustement.

  1. Que va-t-il arriver à l’investissement ?
  2. Comment se compare \(K_{t+1}\) avec et sans le tremblement de terre ?

Exercice 2 - Le calcul de Prescott

Supposons que les préférences en matière de consommation et de loisirs soient : \(u(c, l) = \log(c) + \alpha \log(l)\) et que les ménages résolvent :

\[\max_{c,l} \log(c) + \alpha \log(l)\]

s.c. \(c=w(1-l)(1-\tau)+T\)

  1. Trouvez les conditions d’optimalités de la décision consommation-temps de loisir.
  2. Utilisez la contrainte budgétaire pour trouver une solution pour \(l\). \(l\) doit être fonction de \(w,\tau,T\) et \(\alpha\).
  3. Supposez \(T = 0\). Comment \(l\) réagit-il au taux d’imposition \(\tau\) ? Interprétez.

Supposez maintenant qu’en Europe et aux États-Unis nous ayons : - \(\alpha=1,54\) ; \(w=1\) - mais qu’aux États-Unis, \(\tau=0,34\) ; \(T=0.102\) - et qu’en Europe, \(\tau=0,53\) ; \(T=0.124\)

  1. Calculez le temps de loisir aux États-Unis et en Europe. Si nous interprétons \(1\) comme la durée totale de votre vie d’adulte, quelle fraction de leur vie d’adulte les Européens et les Américains travaillent-ils ? Commentez le rôle respectif des impôts et des transferts dans cette analyse en utilisant vos réponses aux parties 2. et 3..
  2. Les valeurs de \(\tau\) et \(T\) ci-dessus ne sont pas arbitraires. Si vous avez effectué les calculs correctement, vous devriez constater que les deux gouvernements ont des budgets équilibrés (à l’erreur d’arrondi près), c’est-à-dire qu’ils redistribuent toutes les recettes fiscales sous forme de transferts. Vérifiez que c’est bien le cas.
  3. En supposant que la fonction de production soit \(Y = L = 1 - l\), dans quelle mesure le PIB par habitant en Europe est-il inférieur à celui des États-Unis ?
  4. Calculez le bien-être relatif de l’Europe en résolvant \(\lambda\) dans l’équation suivante : \(u(c_{Europe},l_{Europe}) = u(\lambda c_{US},l_{US})\). Interprétez la valeur de \(\lambda\) que vous trouvez.
  5. Comparez les réponses aux questions 6. et 7..
  6. Supposez qu’un décideur politique européen examine le calcul de Prescott et conclut que l’Europe pourrait augmenter son bien-être d’un facteur \(1/\lambda\) en réduisant son taux d’imposition et son niveau de transferts aux niveaux américains. Pensez-vous qu’il a raison ? Pourquoi ? Ne répondez pas mécaniquement à cette question : réfléchissez à ce que fait ce calcul et à ce qu’il laisse de côté.

Dans tout calcul de ce type, un paramètre important est l’élasticité de l’offre de travail. Une définition de l’élasticité souvent étudiée par les économistes du travail est connue sous le nom d’élasticité de Frisch. Elle est basée sur la réponse à la question suivante : supposons que nous augmentions les salaires mais que nous ajustions le revenu du ménage de manière à ce que la consommation reste constante : comment l’offre de travail évoluerait-elle ?

Calculons l’élasticité de Frisch dans le modèle de Prescott.

  1. Utilisez votre réponse à la question 1 pour trouver une expression pour l’offre de travail \((1-l)\) en termes de \(w(1-\tau)\), \(c\) et \(\alpha\). Notez qu’il faut maintenant maintenir la consommation constante, donc l’idée est de ne pas remplacer \(c\) par la contrainte budgétaire comme vous l’avez fait à la question 2.
  2. Utilisez votre réponse à la partie 10. pour trouver une expression pour \(\frac{\partial(1-l)}{\partial w(1-\tau)}\), c’est-à-dire l’élasticité de l’offre de travail par rapport aux salaires après impôts, en maintenant la consommation constante.
  3. Insérez les valeurs de \(\alpha\), \(\tau\), \(w\), \(c\) et \(l\) que vous avez trouvées pour le cas américain dans l’expression de l’élasticité. Quel nombre obtenez-vous ? Les estimations empiriques de cette élasticité se situent généralement entre \(0.4\) et \(1\). Comment se compare-t-elle à l’élasticité impliquée par le modèle de Prescott ? Pourquoi est-ce important pour nos conclusions sur la politique fiscale ?

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