Consommation & Travail

TD Introduction à la macroéconomie

Kilian Rouge
kilian.rouge@agroparistech.fr

CIRED

2025-03-11

Rappels de cours

Comparaison du TD4 et TD5

Consommation intertemporelle

\[\max_{c_1,c_2} \; u(c_1) + \beta u(c_2)\]

Contrainte: \[c_2 = y_2 + (1+r)\left(y_1 - c_1\right)\]

Travail

\[\max_{c,l} \; u(c,l) = \log(c) + \alpha \log(l)\]

Contrainte: \[c \leq w(1-l)\]

Comprendre le multiplicateur de Lagrange

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from shiny import App, ui, render
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Définition de la fonction d'utilité avec un sigma plus petit
def utility(c1, c2, sigma=1.8):
    return ((c1**(1-sigma) / (1-sigma)) + 0.5*(c2**(1-sigma) / (1-sigma))) + 1

# Définition de la contrainte budgétaire
def budget_constraint(c1, y1=7, a0=0, r=0.03, tau1=1, tau2=1, y2=4):
    a = a0 + y1 - tau1 - c1
    c2 = y2 - tau2 + (1 + r) * a
    return np.where(c2 > 0, c2, np.nan)

app_ui = ui.page_sidebar(
    ui.sidebar(
        ui.h3("Contrôles de vue"),
        ui.input_slider("elevation", "Élévation de la vue", min=0, max=90, value=20),
        ui.input_slider("azimuth", "Azimut de la vue", min=0, max=360, value=269),
    ),
    ui.h2("Modèle à deux périodes: Représentation 3D de l'utilité et de la contrainte budgétaire"),
    ui.output_plot("plot3d", height="500px"),
)

def server(input, output, session):
    @output
    @render.plot
    def plot3d():
        fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
        ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

        # Grille de points
        c1 = np.linspace(2, 8, 50)
        c2 = np.linspace(2, 8, 50)
        C1, C2 = np.meshgrid(c1, c2)
        U = utility(C1, C2)

        # Contrainte budgétaire
        C2_budget = budget_constraint(c1)
        U_budget = utility(c1, C2_budget)

        # Surface d'utilité
        surf = ax.plot_surface(C1, C2, U, cmap='viridis', alpha=0.6)

        # Courbes de niveau
        ax.contour(C1, C2, U, 20, cmap='viridis', offset=0, linestyles='solid')

        # Plan de la contrainte budgétaire
        # Créer une grille de points Z pour le plan vertical
        Z = np.linspace(np.min(U), np.max(U), 50)
        X, Z = np.meshgrid(c1, Z)
        Y = np.zeros_like(X)
        for i in range(len(c1)):
            Y[:,i] = budget_constraint(c1[i])

        # Tracer le plan vertical rouge transparent
        ax.plot_surface(X, Y, Z, color='red', alpha=0.1)

        # Intersection contrainte-utilité
        ax.plot(c1, C2_budget, U_budget, color='red', linewidth=2, label='Intersection')

        # Projection de la contrainte
        ax.plot(c1, C2_budget, np.zeros_like(c1), color='black', linestyle='dashed', linewidth=2, label='Projection')

        # Maximum d'utilité
        max_idx = np.nanargmax(U_budget)
        ax.scatter([c1[max_idx]], [C2_budget[max_idx]], [U_budget[max_idx]],
                  color='red', s=100, label='Maximum')

        # Gradient
        grad_c1, grad_c2 = np.gradient(U, axis=(0, 1))
        ax.quiver(C1, C2, U, grad_c1, grad_c2, 0, color='gray', alpha=0.5, linewidth=1)

        # Labels et légende
        ax.set_xlabel('Consommation C1')
        ax.set_ylabel('Consommation C2')
        ax.set_zlabel('Utilité')
        ax.legend()

        # Vue
        ax.view_init(elev=input.elevation(), azim=input.azimuth())

        return fig

app = App(app_ui, server)

Exercice 2 - La propension marginale à consommer en termes proportionnels

Supposez qu’un ménage résout un cas particulier du problème de l’exercice 1, avec \[ a_0=\tau_1=\tau_2=0 \quad \text{et} \quad y_2=m\,y_1, \] où \(m\) est un nombre réel.

  1. Supposez que \(y_1\) et \(y_2\) augmentent tous les deux de \(x\%\). De quel pourcentage \(c_1\) et \(c_2\) augmenteront-ils ?
  2. Supposez que \(y_1\) augmente de \(x\%\) mais que \(y_2\) reste inchangé. De quel pourcentage \(c_1\) augmentera-t-il ? Comment cela dépend-il de \(y_2\) et de \(r\) ? Expliquez.

Exercice 5 - Contraintes de crédit et équivalence ricardienne

Supposez qu’un ménage résolve la variante suivante du problème de l’exercice 1 :

\[ \max_{c_1,\, c_2,\, a} \; u(c_1)+\beta\, u(c_2) \]

subject to \[ a = y_1-\tau_1-c_1 \] \[c_2=y_2-\tau_2+(1+r)a \] \[a\geq -b \]

  1. Interprétez \(a\geq -b\). Que représente \(b\) ?
  2. Faites un graphique de la contrainte budgétaire et ajoutez la contrainte \(a\geq -b\).
  3. Résolvez le problème pour \(c_1\) et \(c_2\). [Indice : Remarquez que \(a\geq -b\) est une inégalité faible, pas une inégalité stricte, donc elle peut ou non être contraignante. Si elle n’est pas contraignante, vous pouvez utiliser la réponse de l’exercice 1. Réfléchissez ensuite à ce qui se passe si elle est effectivement contraignante. Déterminez ensuite si elle sera contraignante ou non.]
  4. Montrez que, toutes choses égales par ailleurs, la contrainte \(a\geq -b\) est plus susceptible d’être contraignante si
    • \(y_2-\tau_2\) est élevé,
    • \(y_1-\tau_1\) est faible,
    • \(b\) est faible.
    Interprétez chacune de ces conditions.
  5. Supposez que le gouvernement annonce un plan de relance de taille \(\Delta\). Cela implique de réduire \(\tau_1\) de \(\Delta\) et d’augmenter \(\tau_2\) de \(\Delta(1+r)\) de sorte que la valeur actuelle des impôts reste inchangée. Comment \(c_1\) réagit-il au plan de relance si nous partons d’une situation où la contrainte \(a\geq -b\) n’est PAS contraignante ? Comment \(c_1\) réagit-il au plan de relance si nous partons d’une situation où la contrainte \(a\geq -b\) est contraignante ? Expliquez.
  6. Supposez qu’au lieu d’annoncer un plan de relance, le gouvernement annonce qu’il permettra aux ménages d’emprunter \(\Delta\) au gouvernement et de le rembourser (avec intérêts) à \(t=2\). Comment les effets de cette politique se comparent-ils aux effets du plan de relance ? Expliquez.

Exercice 1 - L’offre de travail

Supposez que les préférences des ménages soient données par : \(u(c, l) = c + \theta \log(l)\) où \(c\) est la consommation, \(l\) la fraction de temps consacrée au loisir et \(\theta\) un paramètre. Les ménages disposent d’un total d’une unité de temps et peuvent fournir du travail sur un marché du travail concurrentiel à un salaire \(w\).

  1. Trouvez une expression pour la fraction de temps que les ménages consacrent au travail (marchand).
  2. Si c’était le bon modèle et que l’on examinait les ménages de différents pays, comment les heures de travail seraient-elles corrélées aux niveaux de salaire ? Comparez aux données.

Exercice 2 - Le calcul de Prescott

Supposons que les préférences en matière de consommation et de loisirs soient : \(u(c, l) = \log(c) + \alpha \log(l)\) et que les ménages résolvent :

\[\max_{c,l} \log(c) + \alpha \log(l)\]

s.c. \(c=w(1-l)(1-\tau)+T\)

  1. Trouvez les conditions d’optimalités de la décision consommation-temps de loisir.
  2. Utilisez la contrainte budgétaire pour trouver une solution pour \(l\). \(l\) doit être fonction de \(w,\tau,T\) et \(\alpha\).
  3. Supposez \(T = 0\). Comment \(l\) réagit-il au taux d’imposition \(\tau\) ? Interprétez.

Supposez maintenant qu’en Europe et aux États-Unis nous ayons : - \(\alpha=1,54\) ; \(w=1\) - mais qu’aux États-Unis, \(\tau=0,34\) ; \(T=0.102\) - et qu’en Europe, \(\tau=0,53\) ; \(T=0.124\)

  1. Calculez le temps de loisir aux États-Unis et en Europe. Si nous interprétons \(1\) comme la durée totale de votre vie d’adulte, quelle fraction de leur vie d’adulte les Européens et les Américains travaillent-ils ? Commentez le rôle respectif des impôts et des transferts dans cette analyse en utilisant vos réponses aux parties 2. et 3..
  2. Les valeurs de \(\tau\) et \(T\) ci-dessus ne sont pas arbitraires. Si vous avez effectué les calculs correctement, vous devriez constater que les deux gouvernements ont des budgets équilibrés (à l’erreur d’arrondi près), c’est-à-dire qu’ils redistribuent toutes les recettes fiscales sous forme de transferts. Vérifiez que c’est bien le cas.
  3. En supposant que la fonction de production soit \(Y = L = 1 - l\), dans quelle mesure le PIB par habitant en Europe est-il inférieur à celui des États-Unis ?
  4. Calculez le bien-être relatif de l’Europe en résolvant \(\lambda\) dans l’équation suivante : \(u(c_{Europe},l_{Europe}) = u(\lambda c_{US},l_{US})\). Interprétez la valeur de \(\lambda\) que vous trouvez.
  5. Comparez les réponses aux questions 6. et 7..
  6. Supposez qu’un décideur politique européen examine le calcul de Prescott et conclut que l’Europe pourrait augmenter son bien-être d’un facteur \(1/\lambda\) en réduisant son taux d’imposition et son niveau de transferts aux niveaux américains. Pensez-vous qu’il a raison ? Pourquoi ? Ne répondez pas mécaniquement à cette question : réfléchissez à ce que fait ce calcul et à ce qu’il laisse de côté.

Dans tout calcul de ce type, un paramètre important est l’élasticité de l’offre de travail. Une définition de l’élasticité souvent étudiée par les économistes du travail est connue sous le nom d’élasticité de Frisch. Elle est basée sur la réponse à la question suivante : supposons que nous augmentions les salaires mais que nous ajustions le revenu du ménage de manière à ce que la consommation reste constante : comment l’offre de travail évoluerait-elle ?

Calculons l’élasticité de Frisch dans le modèle de Prescott.

  1. Utilisez votre réponse à la question 1 pour trouver une expression pour l’offre de travail \((1-l)\) en termes de \(w(1-\tau)\), \(c\) et \(\alpha\). Notez qu’il faut maintenant maintenir la consommation constante, donc l’idée est de ne pas remplacer \(c\) par la contrainte budgétaire comme vous l’avez fait à la question 2.
  2. Utilisez votre réponse à la partie 10. pour trouver une expression pour \(\frac{\partial(1-l)}{\partial w(1-\tau)}\), c’est-à-dire l’élasticité de l’offre de travail par rapport aux salaires après impôts, en maintenant la consommation constante.
  3. Insérez les valeurs de \(\alpha\), \(\tau\), \(w\), \(c\) et \(l\) que vous avez trouvées pour le cas américain dans l’expression de l’élasticité. Quel nombre obtenez-vous ? Les estimations empiriques de cette élasticité se situent généralement entre \(0.4\) et \(1\). Comment se compare-t-elle à l’élasticité impliquée par le modèle de Prescott ? Pourquoi est-ce important pour nos conclusions sur la politique fiscale ?

Exercice 3 - Un ménage rationnel

Considérons une économie correctement décrite par le modèle de croissance de Solow. La fonction de production est :

\[ Y=K^\alpha\,L^{1-\alpha} \]

La population est constante et égale à 1 et il n’y a pas de progrès technologique. Le taux d’épargne est \(s\) et le taux d’amortissement est \(\delta\).

  1. Quel sera le stock de capital au long terme ?
  2. Quel sera le taux d’intérêt au long terme ?

Pour le reste des questions, supposez \[ s=0.4,\quad \alpha=0.35,\quad \delta=0.1, \] et que l’économie se trouve initialement à l’état stationnaire.

  1. Si le taux d’épargne augmente de \(s=0.4\) à \(s=0.5\) :
      1. Le PIB va-t-il augmenter à long terme ?
      1. La consommation va-t-elle augmenter à long terme ?
  2. Supposons qu’il y a une dynastie de ménages vivant sur deux périodes dans l’économie (les Friedman) qui décide qu’au lieu de simplement épargner une fraction exogène de son revenu, elle va choisir sa consommation et son épargne de façon à maximiser ses préférences :

\[ u(c_1,c_2)= u(c_1)+ \beta\, u(c_2) \]

Les Friedman peuvent emprunter ou prêter au taux d’intérêt du marché. Comme ce sont les seuls à agir de cette façon et qu’ils sont petits par rapport à l’économie, nous allons supposer que l’économie globale (quantités globales, prix, etc.) reste inchangée. La consommation des Friedman sera-t-elle élevée au début puis faible à la fin, ou sera-t-elle faible au début puis élevée à la fin, ou restera-t-elle constante ?

Papier scientifique de la semaine