Consommation
TD Introduction à la macroéconomie
2025-03-03
Rappels de cours
Exercice 1 - Modèle à deux périodes avec impôt et richesse initiale
Supposez qu’un ménage résolve le problème consommation suivant sur deux périodes avec les impôts :
\[ \max_{c_1,\, c_2,\, a} \; u(c_1) + \beta\, u(c_2) \]
subject to \[ a = a_0 + y_1 - \tau_1 - c_1\] \[c_2 = y_2 - \tau_2 + (1+r)a \]
avec \[ u(c)=\frac{c^{1-\sigma}}{1-\sigma}, \]
où - \(c_1\) est la consommation en période 1, - \(c_2\) est la consommation en période 2, - \(y_1\) est le revenu du ménage en période 1, - \(y_2\) est le revenu du ménage en période 2, - \(\tau_1\) sont les impôts en période 1, - \(\tau_2\) sont les impôts en période 2, - \(a_0\) est la richesse initiale.
- Résolvez le problème pour \(c_1\), \(c_2\).
- Comment \(\frac{c_1}{y_1}\) dépend de \(y_2\) ? Que se passerait-il si le ménage devenait soudainement optimiste quant à son revenu futur ?
- Comment \(\frac{c_1}{y_1}\) dépend de \(a_0\) ? Interprétez.
- Comment \(\frac{c_1}{y_1}\) dépend de \(\beta\) ? Interprétez.
- Supposez \(y_2=\tau_1=\tau_2=0\) et calculez \(\frac{\partial c_1}{\partial r}\). Quel est l’effet de \(\sigma\) ? Interprétez. [Indice : Pour l’interprétation, pensez à l’effet de \(\sigma\) sur l’effet revenu et l’effet substitution.]
Décomposition de Hicks
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from shiny import App, reactive, render, ui
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fsolve
app_ui = ui.page_fluid(
ui.h2("Hicks Decomposition"),
ui.layout_sidebar(
ui.sidebar(
ui.input_slider("sigma", "Sigma:", min=0.1, max=2, value=1.1, step=0.1),
ui.input_select("r_change", "Interest rate change:",
choices=["Increase", "Decrease"],
selected="Increase"),
ui.input_select("income_pattern", "Income pattern:",
choices=["y1 >> y2", "y1 << y2"],
selected="y1 >> y2"),
),
ui.card(
ui.card_header("Hicks Decomposition Plot"),
ui.output_plot("hicks_plot", height="600px")
)
)
)
def server(input, output, session):
def solve_optimum(A, r, sigma, beta=0.98):
denom = 1 + beta**(1/sigma) * (1 + r)**((1/sigma) - 1)
c1 = A / denom
c2 = c1 * (beta * (1 + r))**(1/sigma)
return c1, c2
def utility(c1, c2, sigma, beta=0.98):
return (c1**(1-sigma) / (1-sigma)) + beta * (c2**(1-sigma) / (1-sigma))
@render.plot
def hicks_plot():
# Get input values
sigma = input.sigma()
r_change = input.r_change()
income_pattern = input.income_pattern()
beta = 0.98
r_old = 0.05
# Extreme change in interest rate
if r_change == 'Increase':
r_new = 1.0
else:
r_new = -0.6
if income_pattern == 'y1 >> y2':
y1, y2 = 3.0, 1.0
else:
y1, y2 = 1.0, 3.0
# Old optimum calculations
A_old = y1 + y2/(1 + r_old)
c1_old, c2_old = solve_optimum(A_old, r_old, sigma, beta)
U_old = utility(c1_old, c2_old, sigma, beta)
# New optimum calculations
A_new = y1 + y2/(1 + r_new)
c1_new, c2_new = solve_optimum(A_new, r_new, sigma, beta)
U_new = utility(c1_new, c2_new, sigma, beta)
# Find intermediate optimum for Hicks decomposition
def objective(A_sub):
c1_sub, c2_sub = solve_optimum(A_sub, r_new, sigma, beta)
return utility(c1_sub, c2_sub, sigma, beta) - U_old
A_sub_guess = A_old
A_sub_solution = fsolve(objective, A_sub_guess)
A_sub = A_sub_solution[0]
c1_sub, c2_sub = solve_optimum(A_sub, r_new, sigma, beta)
# Grid for plotting budget lines and utility curves
c1_max = max(A_old, A_new, A_sub)
c1_grid = np.linspace(0, c1_max, 200)
def budget_line_c2(c1, A, r):
return (A - c1) * (1 + r)
# Budget lines
c2_old_line = budget_line_c2(c1_grid, A_old, r_old)
c2_new_line = budget_line_c2(c1_grid, A_new, r_new)
c2_sub_line = budget_line_c2(c1_grid, A_sub, r_new)
# Helper function for a single indifference curve from utility level U
def c2_from_utility(c1_val, U_target, sigma, beta=0.98):
val = U_target - (c1_val**(1-sigma)/(1-sigma))
val *= (1-sigma)/beta
return val**(1/(1-sigma)) if val > 0 else np.nan
# Compute the utility curves for old and new optimum
c2_old_curve = [c2_from_utility(c, U_old, sigma, beta) for c in c1_grid]
c2_new_curve = [c2_from_utility(c, U_new, sigma, beta) for c in c1_grid]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
# Plot budget lines
ax.plot(c1_grid, c2_old_line, 'r--', label=f'Budget old (r={r_old:.2f})')
ax.plot(c1_grid, c2_new_line, 'r-', label=f'Budget new (r={r_new:.2f})')
ax.plot(c1_grid, c2_sub_line, 'r:', label='Intermediate line')
# Plot optima
ax.plot(c1_old, c2_old, 'bo', label='Old optimum')
ax.plot(c1_sub, c2_sub, 'go', label='Intermediate optimum')
ax.plot(c1_new, c2_new, 'ro', label='New optimum')
# Plot only the main indifference curves
ax.plot(c1_grid, c2_old_curve, color='blue', label='Indifference (old)')
ax.plot(c1_grid, c2_new_curve, color='red', label='Indifference (new)')
ax.annotate('',
xy=(c1_sub, c2_sub), xytext=(c1_old, c2_old),
arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='blue', lw=2))
ax.text((c1_old+c1_sub)/2, (c2_old+c2_sub)/2,
'substitution effect', color='blue')
ax.annotate('',
xy=(c1_new, c2_new), xytext=(c1_sub, c2_sub),
arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='green', lw=2))
ax.text((c1_sub+c1_new)/2, (c2_sub+c2_new)/2,
'income effect', color='green')
ax.set_xlim(0, c1_max*1.05)
ax.set_ylim(0, max(c2_old_line.max(), c2_new_line.max(), c2_sub_line.max())*1.05)
ax.set_xlabel('$c_1$')
ax.set_ylabel('$c_2$')
ax.set_title(f"Hicks decomposition\n(r_old={r_old}, r_new={r_new}, sigma={sigma:.2f}, y1={y1}, y2={y2})")
ax.legend(loc='best')
ax.grid(True)
return fig
app = App(app_ui, server)Exercice 2 - La propension marginale à consommer en termes proportionnels
Supposez qu’un ménage résout un cas particulier du problème de l’exercice 1, avec \[ a_0=\tau_1=\tau_2=0 \quad \text{et} \quad y_2=m\,y_1, \] où \(m\) est un nombre réel.
- Supposez que \(y_1\) et \(y_2\) augmentent tous les deux de \(x\%\). De quel pourcentage \(c_1\) et \(c_2\) augmenteront-ils ?
- Supposez que \(y_1\) augmente de \(x\%\) mais que \(y_2\) reste inchangé. De quel pourcentage \(c_1\) augmentera-t-il ? Comment cela dépend-il de \(y_2\) et de \(r\) ? Expliquez.
Exercice 4 - Les taux d’épargne pour différentes personnes
Un économiste dispose de données sur la profession, le revenu de l’année (noté \(y\)) et la consommation de l’année (notée \(c\)) d’un échantillon d’individus de 26 ans. Au sein de cet échantillon, certains sont des sportifs professionnels de haut niveau et d’autres sont des médecins en première année. [Faites toutes les hypothèses que vous jugez raisonnables et, si vous le souhaitez, reportez-vous à l’exercice 1.]
- Supposez que vous calculiez \[ s=\frac{y-c}{y} \] pour chacun des individus de votre échantillon. Vous attendez-vous à ce que \(s\) soit plus élevé pour les sportifs ou pour les étudiants en médecine ?
- Supposez que les taux d’intérêt baissent. Selon vous, \(s\) variera-t-il différemment pour chacun des groupes et comment ?
Exercice 3 - Un ménage rationnel
Considérons une économie correctement décrite par le modèle de croissance de Solow. La fonction de production est :
\[ Y=K^\alpha\,L^{1-\alpha} \]
La population est constante et égale à 1 et il n’y a pas de progrès technologique. Le taux d’épargne est \(s\) et le taux d’amortissement est \(\delta\).
- Quel sera le stock de capital au long terme ?
- Quel sera le taux d’intérêt au long terme ?
Pour le reste des questions, supposez \[ s=0.4,\quad \alpha=0.35,\quad \delta=0.1, \] et que l’économie se trouve initialement à l’état stationnaire.
- Si le taux d’épargne augmente de \(s=0.4\) à \(s=0.5\) :
- Le PIB va-t-il augmenter à long terme ?
- La consommation va-t-elle augmenter à long terme ?
- Supposons qu’il y a une dynastie de ménages vivant sur deux périodes dans l’économie (les Friedman) qui décide qu’au lieu de simplement épargner une fraction exogène de son revenu, elle va choisir sa consommation et son épargne de façon à maximiser ses préférences :
\[ u(c_1,c_2)= u(c_1)+ \beta\, u(c_2) \]
Les Friedman peuvent emprunter ou prêter au taux d’intérêt du marché. Comme ce sont les seuls à agir de cette façon et qu’ils sont petits par rapport à l’économie, nous allons supposer que l’économie globale (quantités globales, prix, etc.) reste inchangée. La consommation des Friedman sera-t-elle élevée au début puis faible à la fin, ou sera-t-elle faible au début puis élevée à la fin, ou restera-t-elle constante ?
Exercice 5 - Contraintes de crédit et équivalence ricardienne
Supposez qu’un ménage résolve la variante suivante du problème de l’exercice 1 :
\[ \max_{c_1,\, c_2,\, a} \; u(c_1)+\beta\, u(c_2) \]
subject to \[ a = y_1-\tau_1-c_1 \] \[c_2=y_2-\tau_2+(1+r)a \] \[a\geq -b \]
- Interprétez \(a\geq -b\). Que représente \(b\) ?
- Faites un graphique de la contrainte budgétaire et ajoutez la contrainte \(a\geq -b\).
- Résolvez le problème pour \(c_1\) et \(c_2\). [Indice : Remarquez que \(a\geq -b\) est une inégalité faible, pas une inégalité stricte, donc elle peut ou non être contraignante. Si elle n’est pas contraignante, vous pouvez utiliser la réponse de l’exercice 1. Réfléchissez ensuite à ce qui se passe si elle est effectivement contraignante. Déterminez ensuite si elle sera contraignante ou non.]
- Montrez que, toutes choses égales par ailleurs, la contrainte \(a\geq -b\) est plus susceptible d’être contraignante si
- \(y_2-\tau_2\) est élevé,
- \(y_1-\tau_1\) est faible,
- \(b\) est faible.
- Supposez que le gouvernement annonce un plan de relance de taille \(\Delta\). Cela implique de réduire \(\tau_1\) de \(\Delta\) et d’augmenter \(\tau_2\) de \(\Delta(1+r)\) de sorte que la valeur actuelle des impôts reste inchangée. Comment \(c_1\) réagit-il au plan de relance si nous partons d’une situation où la contrainte \(a\geq -b\) n’est PAS contraignante ? Comment \(c_1\) réagit-il au plan de relance si nous partons d’une situation où la contrainte \(a\geq -b\) est contraignante ? Expliquez.
- Supposez qu’au lieu d’annoncer un plan de relance, le gouvernement annonce qu’il permettra aux ménages d’emprunter \(\Delta\) au gouvernement et de le rembourser (avec intérêts) à \(t=2\). Comment les effets de cette politique se comparent-ils aux effets du plan de relance ? Expliquez.
Exercice 10 - Taux d’intérêt
Supposons que nous observions que Usuria (une économie fermée) croît d’environ 6% par an, et que nous essayions de comprendre pourquoi. Nous savons que la population active est restée constante.
Conjecture 1 : L’économie est dans un état stationnaire avec progrès technologique. Il y a eu accumulation de capital simplement pour maintenir \(K\) constant, mais la cause de la croissance a été la croissance de la PTF.
Conjecture 2 : L’économie est partie d’un niveau de stock de capital très faible (en dessous de l’état stationnaire) et a connu une croissance parce qu’elle converge vers l’état stationnaire, mais la PTF est restée constante.
Idéalement, si nous voulions faire la distinction entre la conjecture 1 et la conjecture 2, nous pourrions faire un exercice de comptabilité de la croissance. Malheureusement, Usuria ne produit pas de statistiques fiables sur l’accumulation du capital qui nous permettraient de le faire. Nous disposons cependant de données sur les taux d’intérêt en Usuria.
Comment utiliserait-on ces données pour distinguer la conjecture 1 de la conjecture 2 ? Soyez aussi mathématiquement précis que possible.
Papier scientifique de la semaine
